เฉลยแล้ว 1-1+1-1+... เท่ากับเท่าไหร่? ปริศนาคณิตกว่า 300 ปี คำตอบไม่ใช่ศูนย์!!!

ปริศนาคณิตศาสตร์: 1-1+1-1+... เท่ากับเท่าไหร่? โจทย์ที่นักคณิตศาสตร์ถกเถียงกันกว่า 300 ปี

ลองนึกภาพโจทย์ง่าย ๆ ที่ใคร ๆ ก็ทำได้ อย่างเช่น 1−1 ผลลัพธ์ที่ได้ย่อมเป็น 0 อย่างไม่มีข้อสงสัยในทางคณิตศาสตร์ แต่ถ้าเราเพิ่มความซับซ้อนเข้าไปเล็กน้อย โดยการบวกและลบ 1 สลับกันไปเรื่อย ๆ อย่างไม่สิ้นสุด เรื่องราวจะเปลี่ยนไปทันที

เมื่อเราเพิ่ม 1 เข้าไป ผลรวม 1−1+1 จะกลายเป็น 1 แต่เมื่อลบ 1 อีกครั้ง 1−1+1−1 ก็กลับไปที่ 0 การสลับระหว่าง 0 และ 1 นี้เองที่เป็นชนวนให้เกิดการถกเถียงในโลกคณิตศาสตร์มานานกว่า 300 ปี

ชุดอนุกรมแกรนดี: โจทย์ที่ไม่ลงตัว

ชุดอนุกรมอนันต์นี้ได้รับการนำเสนอโดย Luigi Guido Grandi นักคณิตศาสตร์และนักบวชชาวอิตาลี เมื่อปี ค.ศ. 1703 ซึ่งต่อมาถูกเรียกว่า อนุกรมแกรนดี (Grandi's series) โดยมีคำตอบที่เป็นไปได้ในตอนแรกถึงสามแบบ คือ 0, 1 และ 1/2

คำตอบ 0 มาจากการจัดกลุ่มพจน์ 1+(−1+1)+(−1+1)+… ซึ่งในวงเล็บมีค่าเป็น 0 ทั้งหมด แต่ถ้าจัดกลุ่มอีกแบบเป็น (1−1)+(1−1)+(1−1)+… ผลรวมก็ยังเป็น 0 อยู่ดี คำตอบ 1 จะเกิดเมื่อเราจัดกลุ่มเป็น 1+(−1+1)+(−1+1)+… ซึ่งทำให้เหลือ 1 เป็นพจน์แรกที่ไม่ได้ถูกจัดกลุ่ม ดังนั้นคำตอบ 0 และ 1 จึงดูมีความเป็นไปได้เท่า ๆ กัน

เมื่อนักคณิตศาสตร์ระดับโลกอย่างออยเลอร์เข้ามาร่วมถกเถียง

ผู้ที่เข้ามามีบทบาทสำคัญในการหาคำตอบที่สามคือ Leonhard Euler นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ในศตวรรษที่ 18 ออยเลอร์ได้ตีพิมพ์บทความในปี ค.ศ. 1760 โดยยืนยันว่า ผลรวมของอนุกรมนี้คือ 1/2 อย่างไม่ต้องสงสัย โดยอธิบายว่าชุดอนุกรม 1−1+1−1+… และเศษส่วน 1/2 เป็นสองปริมาณที่เท่าเทียมกัน

การยืนยันของออยเลอร์มาจากแนวคิดของการหาค่าเฉลี่ยของผลรวมย่อย (Partial Sums) ของอนุกรมที่ไม่มีขีดจำกัด การที่ชุดอนุกรมนี้สลับไปมาระหว่าง 0 และ 1 ทำให้ค่าเฉลี่ยของผลรวมย่อยมีแนวโน้มเข้าใกล้ 1/2 ซึ่งเป็นคำตอบที่นักคณิตศาสตร์หลายคนในยุคนั้นยอมรับ

บทสรุปตามหลักคณิตศาสตร์สมัยใหม่

ในปัจจุบัน ชุดอนุกรมแกรนดีถูกจัดเป็น อนุกรมลู่ออก (Divergent series) ซึ่งหมายความว่า ตามนิยามมาตรฐานของลิมิตของผลรวมอนันต์ ชุดอนุกรมนี้ไม่มีผลรวมที่เป็นค่าคงที่

อย่างไรก็ตาม หากใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า การหาผลรวมแบบซีซาโร (Cesàro summation) ซึ่งเป็นการหาค่าเฉลี่ยของผลรวมย่อย ชุดอนุกรมแกรนดีจะมีผลรวมแบบซีซาโรเท่ากับ 1/2 ดังนั้น แม้จะไม่มีผลรวมที่แน่นอนตามนิยามดั้งเดิม แต่ถ้าต้องหาค่าที่เป็นตัวแทนของผลรวม ชุดอนุกรมนี้จะมีค่าเท่ากับ 1/2 นั่นเอง